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We present a course developed by the team of Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics.

This course offers basic knowledge in mathematical logic.

The goals of mathematical logic are:

• To provide a formal language for mathematical statements that is easily translatable into the natural language and that allows compact and convenient notation.
  
• To offer clear and unambiguous interpretation of such statements that is at the same time simple and close to the natural mathematical concepts.
  

We made sure to make this course informative and interesting for everyone!

What will I learn?

Upon completion of the course, students will have acquired fundamental knowledge that is valuable in itself and will serve as the foundation for other studies. For example, software engineers strongly rely on logic-mathematical theories in their work.

• Natural languages possess a number of flaws - inaccuracy, polysemy, complexity.

• Knowledge of the simple yet powerful methods of mathematical statement transformations made possible by the language of logic is just as vital as is the knowledge of elementary algebra. No need to reinvent the wheel.

• Invented almost a century ago to address the needs of mathematics, mathematical logic has found application in theoretical and practical programming.

• When dealing with applied problems, a researcher has to switch between the descriptive language, mathematical language, the language of numerical methods and algorithms, and specific programming languages. The language of mathematical logic offers a great opportunity to practice this translation between languages and is used as a powerful formalised tool for transmission of information between distant languages.

What do I need to know?

Most of the course content will be understandable for students with only a high school level of education. Some minor sections of the course will require knowledge of imperative programming and elements of mathematical analysis.

Course Structure

The course consists of 7 chapters:

Chapter 1 - Mission of mathematical logic:

Goals, objectives, methods.

Relation between mathematics and mathematical logic.

Examples of logical errors, sophisms and paradoxes.

Brief history of mathematical logic, discussing how problems mathematical logic faced and solved in its development, and how mathematical logic integrates further and further into programming.

Chapter 2 - Foundations of the set theory:

Set theory is the basis for development of languages.

Chapter 3 - Propositional logic:

Propositional logic studies the simplest yet the most important formal language.

Chapter 4 - First-order languages:

The language of propositional logic has limited tools, so we talk about more complex languages based on predicate logic. The language of predicate logic offers tools for full and exact description of any formal notions and statements.

Chapter 5 - Axiomatic method:

The axiomatic method makes it possible to solve many logical problems, errors and paradoxes. It is widely used in today's mathematics and the knowledge of it is vital for anyone using functional and logical programming languages.

Chapter 6 - Mathematical proof:

Discussion of the types of mathematical proof and how proof can be aided with a computer.

Chapter 7 - Algorithm theory:

To learn about the possibilities of the algorithmic approach and the limitations of calculations, one must know the rigorous definition of algorithms and computability. The module offers these definitions and defines algorithmically unsolvable problems. The module introduces the concept of algorithm complexity, which is an important factor when selecting algorithms to solve problems. The module also compares problems by complexity - this knowledge makes it possible to use any search algorithm to solve problem instead of search for the good algorithm.

Kursbeschreibung

Mathematik: das ist Freude am Denken! Und mathematisch denken kann jeder! Wer an diesem Kurs teilnimmt, erhält seine regelmäßige Dosis an meditativen Denkaufgaben, spannenden Knobeleien und mathematischen Einsichten. In den Inhaltsgebieten Arithmetik und Geometrie werden mathematische Denk- und Arbeitsweisen vermittelt, beispielsweise Problemlösen, Begriffe definieren und Sätze finden und beweisen.

Was lerne ich in diesem Kurs?

Im ersten Kursblock werden wir uns mit folgenden Fragen befassen: Wie definiert man mathematische Begriffe? Wie findet man eigentlich mathematische Gesetzmäßigkeiten? Und wie beweist man diese? Welche Rolle spielen Annahmen in der Mathematik? Wie baut sich das Gebäude der Mathematik aus Definitionen, Annahmen und Gesetzmäßgikeiten auf? Fragen über Fragen, denen wir uns mit zahlreichen Experimenten widmen.

Im zweiten Kursblock werden wir die Denk- und Arbeitsweisen aus dem ersten Block in verschiedenen Gebieten anwenden und dadurch festigen. In der Geometrie werden wir uns mit der Tätigkeit des Messens und dem Abstandsbegriff, mit Strecken, Halbgeraden und Geraden, mit Ebenen und Halbenenen und mit Winkeln befassen. In der Arithmetik schauen wir uns den Begriff der Teilbarkeit näher an, veranschaulichen Begriffe wie "größter gemeinsamer Teiler" und "kleinstes gemeinsames Vielfaches", untersuchen Primzahlen und Primfaktorzerlegungen und experimentieren mit Stellenwertsystemen.

Im dritten Kursblock befassen wir uns mit grundlegenden mathematischen Konzepten: Was sind Mengen, Relationen und Funktionen? Auch hier werden wir uns den Begriffen und ihren Zusammenhängen mit grundlegenden mathematischen Denk- und Arbeitsweisen nähern. Experimentieren, erforschen, untersuchen, ergründen, Vermutungen anstellen, Vermutungen verwerfen, Vermutungen beweisen.

Im vierten und letzten Kursblock machen wir uns noch einmal an zentrale Gesetzmäßigkeiten der Mathematik. Wie findet man solche Gesetzmäßgikeiten, und wie beweist man sie? In der Geometrie schauen wir uns schicke Sätze am Kreis an, in der Arithmetik nicht weniger schicke Sätze der Zahlentheorie. Mathematik pur, Mathematik anschaulich, Mathematik handgemacht.

Welche Vorkenntnisse benötige ich?

Jede/r kann mitmachen, der mathematische Vorkenntnisse aus dem Gymnasium mitbringt. Und wenn Du nicht auf dem Gymnasium warst, aber gerne mitmachen möchtest: Dann trau dich! Man sollte natürlich schon mal mit Geometrie und Algebra zu tun gehabt haben. Vieles wird dann wieder aufgefrischt, denn wir machen dann nicht auf dem Niveau der 12. oder 13. Klasse weiter, sondern bauen die Teilgebiete, in denen wir arbeiten, noch einmal grundlegend auf. Oberstufenwissen zu Analysis und Linearer Algebra ist nicht notwendig!

Wie hoch ist der Arbeitsaufwand

Du kannst dich entscheiden, wie aktiv Du dich in den Kurs einbringen möchtest - je nach Interesse und Ehrgeiz!

1) Kiebitze wollen "nur mal gucken" oder mit dem mathematischen Denken erst einmal warm werden. Kiebitze schnuppern jede Woche in den Kurs, schauen sich eins, zwei Videos an und stöbern vielleicht einmal in den weiterführenden Bereichen. Hierdurch bekommen sie einen Einblick, was mathematisches Denken bedeutet, und sie erhalten Impulse, wo man Mathematik auch im Alltag findet und gebrauchen kann. Vielleicht bekommen sie dabei sogar Lust auf mehr! Aufwand: ca. 1-2 Stunden pro Woche

2) Anpacker legen Hand an und erforschen aktiv Mathematik, haben aber keine rechte Lust auf zu viele Formeln. Für Anpacker heißt es: Ärmel hochkrempeln! Im MOOC lernen sie, wie man mathematische Situationen systematisch erforscht, wie man anschauliche Begründungen für mathematische Gesetzmäßgikeiten finden kann, und sie erhalten einen Einblick darin, wie man Abstraktes konkretisiert (und umgekehrt). Sie entwickeln ihre Vorstellungskraft zur Lösung mathematischer Probleme weiter und lernen, Vermutungen anhand konkreter Modelle zu untersuchen. Aufwand: ca. 3-4 Stunden pro Woche

3) Formalisierer geben sich mit der Anschauung nicht zufrieden - sie wollen Formeln sehen! Formalisierer sind Anpacker, die zusätzlich auch noch das Spiel mit abstrakter Symbolsprache lieben. Sie lernen, formale Definitionen zu fassen und formale Beweise zu führen. Natürlich immer basierend auf tragfähigen Vorstellungen, die sie mit den Anpackern teilen! Aufwand: ca. 7-8 Stunden pro Woche

Du möchtest ein Kiebitz in der Arithmetik sein, aber ein Anpacker in der Geometrie? Oder ein Formalisierer in der Arithmetik, aber ein Kiebitz in der Geometrie? Kein Problem - alles ist möglich! So kannst Du deinen individuellen Aufwand selbst wählen und dir diejenigen Inhalte zusammenstellen, die dich interessieren.

Erhalte ich ein Zertifikat?

Du erhältst eine Teilnahmebestätigung, wenn du aktiv mitmachst. Wie das genau geht, wird in der ersten Woche erklärt.